SISTEMAS COM 3 EQUAÇÕES.

            Vale lembrar que o número de equações deve ser igual ao número de incógnitas, ou seja, para que se consiga determinar 3 incógnitas é preciso ter 3 equações.

Exemplo:

x + y + z = 1

2x + y + z = 9

X – 2y + 2z = 2

Como resolver isso ?

Usa-se a mesma metodologia do sistema com 2 equações, ou seja elimina-se primeiramente uma das incógnitas, para fazê-lo é preciso escolher duas . Vamos denominá-las a , b e c .

Vamos somar primeiro a + b

Então:

x + y + z = 1

2x + y – z = 9

Teremos então

3x + 2y = 10 ( pois z + (-z) = o )

Agora é preciso que seja eliminada a mesma incógnita somando-se a expressão que ficou de fora com uma das outras duas a escolher.

Vamos somar  b + c , mas para que possamos eliminar z precisamos multiplicar a expressão b por 2 para que –z seja -2z e possa ser cortado diretamente com o +2z da expressão c

Então:

2x + y – z = 9 ( x2)

4x + 2y – 2z = 18

  x – 2y + 2z = 2

Teremos então:

5x = 20  ( pois  foi possível cortar também o y )

X = 20/5

X = 4

Tendo encontrado o valor de x  basta substituirmos na expressão resultante da primeira soma

Então:

3. 4 + 2y = 10

12 + 2y = 10

2y = 10 -  12

2y = -2

Y = -1

Tendo encontrado o x e o y basta substituirmos em uma das expressões do sistema, vamos substituir na expressão a.

Então:

    x + y + z = 1

 4 + (-1) + z  = 1

 3 + z = 1

 z = 1 – 3

 z = -2

É sempre aconselhável tirar a prova real.

Então:

A )  4 + (-1) + ( -2) = 1

        3  - 2 = 1  

B ) 2.(4) + ( -1 ) – ( -2 ) = 9

         8 – 1 – ( - 2 ) = 9

          7 – ( -2 ) = 9

           7 + 2 = 9

C )  4 – 2.(-1) + 2. ( -2) = 2

       4 – (-2 ) – 4 = 2

        6 – 4 = 2

O processo será sempre o mesmo.  No exemplo tivemos um facilitador que foi o fato de termos podido eliminar y e z de uma só vez por uma coincidência, mas caso não ocorra essa coincidência entra-se duas expressões, então basta resolver  o sistema com duas expressões que nós vimos anteriormente. 

Nunca se esqueça de fazer a prova real.

Pratique:

X + y – 2z = 4

2x – 4y + z = 4

5x + 2y – 3z = 0

                                                                       Resp. x=1 , y= -1 , z = -2

PESQUISA OPERACIONAL.

 SISTEMAS DE EQUAÇÃO.
Os problemas de pesquisa operacional sempre acabam em sistemas de equações, assim, faremos uma pequena revisão de como resolvê-los.
 Sistema com 2 equações.

  x – y = 2
 2x + y = 1
 Como resolver isso ?
 Como descobrir os valores de x e de y ?
 Precisamos ir por partes:
 Vamos descobrir primeiramente o valor de X. como ?
 Somando as duas expressões.
 Então:
 X + 2X = 3X
-Y + Y = 0
 2 + 1 = 3 Logo
 3X = 3
 X = 1
Agora vamos calcular o valor de Y substituindo o X por 1 em uma das expressões.
Vamos substituir na segunda. 2X+Y = 1
Então:
 2 + Y = 1
 Y = 1 – 2 (lembrando que o número quando muda de lado inverte o sinal )
 Y = -1
Então
  x =   1
 Y = -1

      Mas nem sempre as incógnitas das duas expressões estão apenas com sinais invertidos como foi o caso do Y, então o que fazer :
 Exemplo:
 3x + y = 1
 2x + 2y = 1
    A princípio devemos escolher qual das incógnitas está mais fácil de ser eliminada, e neste caso é o Y pois se multiplicarmos a primeira expressão por -2 o Y se tornará -2Y o que permitirá que o cortemos com o Y da segunda expressão.
 Então:
 Multiplicando a primeira expressão por -2 teremos:
 -6X – 2Y = -2
  2X + 2Y = 1
 Somando as duas:
 -4X = -1 (como a expressão ficou toda negativa podemos multiplicá-la por -1 para que se torne positiva. Então teremos:
 4X = 1
 X= ¼
 X = 0,25
    Agora que sabemos o valor de x , ficou fácil acharmos o valor de y, basta substituir o x por 0,25 em uma das expressões.
    Vamos substituir na segunda : 2x + 2Y = 1
 Então:
 2 . 0,25 + 2Y = 1
 0,5 + 2Y = 1
 2Y = 1 – 0,5
 2Y = 0,5
 Y = 0,5/2
 Y = 0,25
   
Pratique: Tente encontrar os valores de x e y. e veja se acertou.

X + y = 5
X – 3y = -7
                                                                        ( resp. x=2 , y=3)
Na próxima postagem vamos ver como resolver sistemas com 3 equações.
 Ricardo da Fonte Alcântara.